Kräfte an einer Hebebrücke / Klappbrücke / Zugbrücke

[Hans-Gerd]

Hallo in die Runde,

Georg hat kürzlich auf das Modell der "Hebebrücke am Nil in Asyut" in Schrauber und Sammler Nr. 2 hingewiesen, gebaut von Jacques L. aus Merkur-Material.
Abgesehen von der tatsächlich einzigartigen Konstruktion finde ich das Modell von Jacques in jeder Hinsicht hervorragend gelungen!

Das hat mich animiert, ein wenig über die auftretenden Kräfte nachzudenken.
Da die Technische Mechanik nicht unbedingt mein Favorit ist, habe ich mich ehrlicherweise vom Internet etwas "inspirieren" lassen und die Erkenntnisse unter Anwendung der im Report angegebenen Daten und Abbildungen so gut es ging auf das Modell übertragen - und zwar erstmal für die einfachere "linke Seite" der Brücke.

Gegeben sind die Länge L = 80 cm, die Höhe H = R = 62 cm sowie die Gewichtskraft FG = 69 N ("7kg").
Angenommen wurde eine homogene Massenverteilung der Brücke, sodass die Gewichtskraft FG im Schwerpunkt auf halber Länge L/2 wirkt.
Als Höhe von 62 cm wurde der obere Rand der Umlenkrollen angenommen und dies soll gleichzeitig der Abstand R zwischen dem Drehlager und dem Angriffspunkt der Seile sein.
Lagerreibungen und Eigengewicht der Seile wurden vernachlässigt.
Zu berechnen war die Zugkraft FZ in Abhängigkeit des "Brückenwinkels β" (so habe ich ihn hier mal genannt).

Zum Rechenweg ist noch folgendes zu sagen:
Auf das Drehlager D der Brücke wirken insgesamt 3 Drehmomente, deren Summe Null sein muss; gezählt wird im Uhrzeigersinn.
Die Kräfte ergeben sich aus der Gewichtskraft der Brücke FG, dem vertikalen Anteil der Zugkraft FZy sowie dem horizontalen Anteil der Zugkraft FZx.
Sie sind mit den wirksamen Hebellängen zu multiplizieren, um die Momente zu erhalten. FG wirkt hierbei nach unten und das Moment entgegen dem Uhrzeigersinn - es bekommt deshalb ein negatives Vorzeichen. Die anderen beiden Momente wirken im Uhrzeigersinn und werden positiv eingerechnet.
Sowohl die Kräfte als auch die Hebellängen sind hierbei abhängig vom "Brückenwinkel β"
Berechnung und Ergebnis habe ich zunächst "händisch" erstellt und als Skizze angefügt (vielleicht mache ich es später noch etwas schöner):

klappbruecke-1.jpg

Demnach beträgt die maximal erforderliche Zugkraft in horizontaler Position der Brücke etwa 63 N und fällt bis zur senkrechten Position natürlich auf Null ab. Das Seil legt hierbei eine Strecke von ca. 0,88 m zurück.
Obwohl die ermittelte Gleichung mehrere trigonometrische Funktionen hat, ist der Kraftverlauf interessanterweise nahezu linear zum Brückenwinkel. Das hätte ich so nicht erwartet, gehe aber davon aus, dass die Erbauer der Brücke an diesem Punkt auch schon waren.

Ich weiß nicht, ob Jacques hier mitliest oder sich schonmal jemand damit beschäftigt hat, aber es wär für mich interessant zu wissen, ob es bis hierhin einigermaßen stimmt und vor allem, inwieweit diese nahezu linear verlaufende Kraft durch einen Schlitten auf einer hyperbel- oder parabelähnlichen Bahn tatsächlich kompensiert werden kann. In diesem Fall müssten sich Brücke und Schlitten bei jedem Winkel β im Gleichgewicht halten und das wage ich momentan erstmal zu bezweifeln.

Aber das zu berechnen wäre dann eine Übung für die nächste Stunde - wenn es überhaupt analytisch möglich ist.

Grüße aus dem Rheinland
Hans-Gerd

Nachtrag:
In der letzten Gleichung fehlt im Nenner zwei mal "Klammer zu" - sorry!

[Georg]

Hallo Hans-Gerd,

Ich habe mit Deinen Benennungen, aber ohne Drehmomente, sondern mit Hebellängen, bissle Sinus und sonstiger Trigonometrie gerechnet.

NACHTRÄGLICHE VERBESSERUNG: In diesem Teil stand das Ergebnis von Rechenfehlern
Das habe ich gelöscht, weil es zu peinlich war.


Alan Wenbourne, auf dessen Meccano Modell sich Jacques Longueville bezieht, hat in dem CQ Artikel eine seht komplizierte Berechnung durchgeführt, da bei ihm der untere Drehpunkt der Brücke nicht unterhalb der oberen Umlenkrolle liegt. Und weitere solche Komplikationen. Das kann, bzw. soll man machen, wenn es richtig werden soll, aber ich denke, die Genauigkeit ist bei uns nicht erforderlich.
Hier der Link zu Alan Wenbournes Brückenbeschreibung:
https://selmec.org.uk/articles/99-nile- ... -at-assuit

[Hans-Gerd]

Hallo Georg,

Meine Formel war wie bei Dir. Vorweg die Längen und das Gewicht, aber der Bruch dahinter war wesentlich einfacher:
Fz = (L *FG / 2* R) * (1/sin ((90-Beta)/2))

Was stimmt jetzt?

Na, im Zweifel natürlich meine Berechnung

Aber ernsthaft - was mir auffällt:
Bei einem Winkel Beta = 90° ergibt Deine Funktion einen Sinus von Null Grad und das ist Null. Aber 1/Null geht nicht.

Ansonsten habe ich mit der "rechten Seite" der Brücke angefangen. Wenn ich es richtig sehe, dann ist es eine schiefe Ebene mit abnehmendem Neigungswinkel, auf der die Hangabtriebskraft des Gegengewichtes die Zugkraft kompensieren muss.
Die weitgehend konstruktiv vorgegebenen Endpunkte sind ja relativ einfach zu bestimmen - und für den Rest kommt mir die Beschreibung von Alan gerade recht. Vielen Dank dafür!

Grüße aus dem Rheinland
Hans-Gerd

PS:
Muss Dir nicht peinlich sein - ich habe meinen obigen Beitrag auch nochmal geändert, weil ich 2 Klammern vergessen hatte ...

[Georg]

Hallo Hans-Gerd,

ich könnte jetzt daherkommen und sagen, dass Technische Mechanik vor über 45 Jahren auf dem Plan stand und danach nicht mehr so stark genutzt wurde. Aber das wäre eine fade Entschuldigung.
Rechenfehler ist Rechenfehler.

Deine Rechnung stimmt.
Wenn man beachtet, dass die Brücke und der Turm ein gleichschenkliges Dreieck bilden, und man dann etwas mit den Winkeln in Dreiecken rumspielt, kommt man zu dem Ergebnis, dass der Winkel alpha= (90°- beta)/2 ist und damit
alpha + beta in Deiner Formel sich einfach und ohne arctan schreiben lassen als (90° + beta)/2

Damit erschreckt die Formel den Leser nicht so sehr.

Hier das Ergebnis mit Excel. Ich habe dabei die Werte der Längen und Gewichte händisch ausgerechnet und als 44,5 (N) eingesetzt.

Screenshot 2024-02-05 202506.png

[Hans-Gerd]

Hallo in die Runde,

wie bereits erwähnt, habe ich mich heute mit der "rechten Seite" besagter Brücke beschäftigt.

Wenn ich das richtig sehe, dann handelt es sich um eine schiefe Ebene mit abnehmendem Neigungswinkel, auf der das Gegengewicht hinabrollt.

Die Hangabtriebskraft FH ist hierbei die Kraft, welche am Seil zieht, um die Brücke im Gleichgewicht zu halten.

NACHTRÄGLICHE KORREKTUR:
Das ist nicht der Fall - es ist eine weitere Kraft zu berücksichtigen und das erfolgt weiter unten in der Diskussion.

FH errechnet sich aus der Gewichtskraft des Gegengewichtes FGg und dem Sinus des Steigungswinkels γ. Sie ist am Anfang des Hebevorgangs maximal und wird in senkrechter Position der Brücke Null. Entsprechend dem nahezu linearen Verlauf der Zugkraft FZ ist der Neigungswinkel bis auf Null zu verringern.

Unter der Annahme, dass die Massenverteilung im Gegengewicht homogen ist, dann befindet sich der Massenschwerpunkt in der Mitte.
Die Abmessungen des Gegengewichtes haben zur Folge, dass sich der Massenschwerpunkt in einem konstruktiv vorgegebenen Abstand zur Umlenkrolle befindet. Den Startpunkt des Massenschwerpunkt schätze ich mal ganz grob auf a = 10 cm rechts von der Senkrechten des Turms und auf b = 15 cm unterhalb der Umlenkrolle.
Desweiteren wird angenommen, dass der tiefste Punkt der Bahn h = 7,5 cm über dem Grund liegt.
Als Masse für das Gegengewicht gibt Jacques einen Wert von mg = 8,5 kg an, welche eine Gewichtskraft von 83 N ergibt.

Damit ist der Startpunkt eigentlich definiert:
Aus x und y ergibt sich ein Neigungswinkel γ von etwa 56° zur Horizontalen und bei diesem Winkel beträgt die Hangabtriebskraft
FH = FGg sin (γ) = 69 N.
Erforderlich wär hier eine Kraft von 63 N, aber etwas Reserve zur Überwindung vernachlässigter Verluste kann nicht schaden. Jedenfalls hört es sich erstmal nicht allzu verkehrt an.

Der Endpunkt ist ebenfalls definiert:
Wenn das Seil-Ende eine Weglänge von 88 cm zurückgelegt hat, dann muss das Gegengewicht unten sein auf einer Neigung von Null Grad. Hier fällt auf, dass die Neigung den Bildern nach zu urteilen nicht gänzlich Null wird - vermutlich ist auch das einer gewissen Reserve geschuldet, weil das
Gegengewicht aufgrund der Reibungen sonst nicht freiwillig in die Endposition rollt.

Bleibt die Frage, wie es zwischen den Endpositionen aussehen sollte, und das habe ich versucht, zunächst (unrein) zeichnerisch zu ermitteln:

NACHTRÄGLICHE KORREKTUR:
Die Grafik wurde entfernt, weil sie auf einer falschen Annahme beruhte. Die korrekte Grafik wird weiter unten in der Diskussion gezeigt.

Die Konstruktion ist etwa maßstäblich dargestellt (hoffe ich zumindest) und die konzentrischen Kreisbögen repräsentieren die zugehörigen Brückenwinkel β, die Zugkräfte FZ bzw. die gleich großen Hangabtriebskräfte FH sowie die zurückgelegte Wegstrecke des Seil-Endes l ab Startpunkt des Massenschwerpunktes. Leider ist mein Zirkel nicht groß genug, sodass ich bei den großen Kreisbögen etwas pfuschen musste ...

Die rot hinterlegte Kurve stellt schließlich die Bahn des Massenschwerpunktes des Gegengewichtes dar.
Ist noch etwas eckig, aber als Grundeinstellung für ein Metallbaukastenmodell sollte es fast reichen - um ein Nachjustieren wird man sowieso nicht herumkommen.

Aber ich muss meine Meinung von gestern revidieren - die Zugkraft wird durch diese Anordnung tatsächlich erstaunlich gut kompensiert.

Irgendwann werde ich das noch ordentlich machen und vielleicht gibt es ja auch eine analytische oder wenigstens eine numerische Lösung.

Grüße aus dem Rheinland
Hans-Gerd

[Hans-Gerd]

Hallo Georg,

... dass Technische Mechanik vor über 45 Jahren auf dem Plan stand und danach nicht mehr so stark genutzt wurde ....

Dann sind wir ja schon zwei ...

Ich wollte anfangs auch über das gleichschenklige Dreieck rechnen, bin aber nicht so gut zurechtgekommen.
Aber das mit den Winkelumformungen werde ich mal ausprobieren - danke!

Gruß
Hans-Gerd

[Georg]

Hallo Hans-Gerd,

das Dreieck schnell hingeschmiert:

PXL_20240205_195644507.jpg

Zu der schiefen Ebene mit ungleicher Neigung: Alan Wenbourne hat das in 15°-Schritten der Brückenneigung gerechnet.
Ich habe in 10°-Schritten gerechnet und ich vermute mal, dass die Engländer, als sie die Brücke in Ägypten bauten, das auch schrittweise gelöst haben und dann "einen schönen Bogen" daraus gemacht haben.

[Hans-Gerd]

Hallo Georg,

das sieht gut aus - darauf hätte ich eigentlich auch kommen können
Wenn man sich schon vom Internet "inspirieren" lässt, weil man es besonders gut machen will ...

Aber abgesehen davon glaube ich auch nicht mehr, dass die Kurve der Bahn formelmäßig zu erfassen ist - dazu sind auch die Randbedingungen zu vielfältig.
Je höher der Startpunkt des Gegengewichtes liegt, desto kürzer kann die Bahn in horizontaler Richtung werden.
Je näher der Startpunkt des Gegengewichtes an der Senkrechten unter der Umlenkrolle liegt, desto geringer kann die Masse des Gegengewichtes werden. Wenn es allerdings wie ein Pendel an der Rolle hängt, dann hat man es etwas übertrieben ...

Vermutlich wird nur die zeichnerische Lösung für den Einzelfall übrigbleiben.
Mit einem geeigneten CAD-Programm könnte man sowas sicher sehr elegant hinbekommen und sich aus den gewonnenen Punkten auch noch eine Näherungsfunktion ausgeben lassen - aber was hat man davon, wenn man die Kurve vorher eh zeichnen muss?
Inwieweit das auch mit EXCEL o. ä. möglich ist, weiß ich nicht.

Beste Grüße
Hans-Gerd

[Hans-Gerd]

Hallo in die Runde,

inzwischen habe ich die Skizzen und Berechnungen in MAC Numbers etwas ordentlicher erstellt:

Klappbruecke_Blatt-1.jpg

Der Rest kommt später.

Grüße aus dem Rheinland
Hans-Gerd

[Georg]

Hallo Hans-Gerd,

an welcher Stelle ist berücksichtigt, dass das Seil nicht gegen die Hangabtriebskraft zieht, sondern dass zwischen diesen beiden Kräften ein Winkel <180° ist?
Das Seil zieht das Gewicht ja nicht nur gegen den Hangabtrieb nach oben, sondern entlastet, abhängig von der Lage auf der Bahn, noch den Wagen mit dem Gewicht.

[Hans-Gerd]

Hallo Georg,

stimmt - Du hast recht.

Die Zugkraft entspricht nur im oberen Endpunkt der Hangabtriebskraft.
Ich werde versuchen, das noch irgendwie einzurechnen.

Die Blätter 2 und 3 habe ich entfernt - das ist mir jetzt auch zu peinlich

Grüße aus dem Rheinland
Hans-Gerd

[Georg]

Hallo Hans-Gerd,

so nähern wir uns langsam dem Ziel, für das sich außer uns beiden vermutlich keiner interessiert.

[Hans-Gerd]

Hallo Georg,

ja, das vermute ich auch.

Aber es hat mich genervt, dass ich mit dem Ansatz von Alan W. nicht wirklich zurechtgekommen bin.
Deshalb wollte ich es einigermaßen eindeutig und vor allem in Deutsch nachvollziehbar darstellen, auch wenn es letztendlich nur dem Selbstzweck dient.
Und es ist ein gute Übung im Umgang mit EXCEL bzw. Numbers.

Einen Ansatz gibt es bereits, aber jetzt ist erstmal Karneval ...

Grüße aus dem Rheinland
Hans-Gerd

[Hans-Gerd]

Hallo Zusammen,

nach tatkräftiger Unterstützung hier der nächste Versuch, dieses "blöde Problem" in den Griff zu bekommen.

Die bislang endgültige Gleichung enthält 3 Variable, von denen 2 (Zugkraft und Seil-Länge am Gegengewicht) berechnet werden können.
Die 3. Variable y ist der Abstand von oben zum Gegengewicht. Diese Abstände habe ich der maßstäblich gezeichneten Geometrie entnommen und die gesuchten Winkel so lange angenähert, bis die Tangenten in diesen Punkten eine visuell ausgewogene Kurve ergaben.

Hier nochmal alle 3 Blätter:

Klappbruecke_Blatt_1.jpg

Klappbruecke_Blatt_2.jpg

Klappbruecke_Blatt_3.jpg

Wie es Alan W. gemacht hat, weiß ich nicht. Er schreibt zwar, dass die Ermittlung der Zwischenwerte zeitraubender war, als erwartet, lässt sich ansonsten aber nicht weiter darüber aus. Überhaupt hält er sich in seiner Ausarbeitung ziemlich bedeckt - wenn man seine Gedankengänge nicht kennt, ist es nur schwer nachvollziehbar.

Ich frage mich, ob man mit einer etwas anspruchsvolleren Mathematik nicht eleganter zum Ziel käme - z. B. mit einer Differenzialgleichung.
Die erforderlichen Steigungswinkel sind ja zumindest punktuell mehr oder weniger bekannt, und die Steigungskurve ist die 1. Ableitung der gesuchten Stammfunktion. Auch die Randbedingungen - also die Endpunkte - sind bekannt. Um das überblicken zu können, bin ich aber nicht Mathematiker genug.

Wie gesagt ist das Modell in mehrerer Hinsicht idealisiert.
In der Praxis wird es erforderlich sein, das Gegengewicht etwas schwerer zu machen, um Verluste auszugleichen.
Auch sollte der Winkel am unteren Ende der Kurvenbahn nicht Null sein, weil das Gegengewicht vermutlich sonst nicht an den Endpunkt läuft.
Aber da ich so ein Teil nie bauen werde, reicht es mir zu wissen, wie man es evtl. machen könnte.

Wenn noch jemand Fehler oder andere Ungereimtheiten findet, dann werde ich es nochmal anpacken.
In den nächsten Tagen räume ich auch meine anderen Beiträge noch etwas auf, sofern erforderlich.
Ansonsten habe ich von diesem Thema erstmal genug - meine Holde hat auch schon gefragt, wann denn mit der "Entdeckung der Weltformel" zu rechnen sei ...

Grüße aus dem karnevalistischen Rheinland
Hans-Gerd