Kräfte an einer Hebebrücke / Klappbrücke / Zugbrücke
Verfasst: 04.02.2024 23:20
Hallo in die Runde,
Georg hat kürzlich auf das Modell der "Hebebrücke am Nil in Asyut" in Schrauber und Sammler Nr. 2 hingewiesen, gebaut von Jacques L. aus Merkur-Material.
Abgesehen von der tatsächlich einzigartigen Konstruktion finde ich das Modell von Jacques in jeder Hinsicht hervorragend gelungen!
Das hat mich animiert, ein wenig über die auftretenden Kräfte nachzudenken.
Da die Technische Mechanik nicht unbedingt mein Favorit ist, habe ich mich ehrlicherweise vom Internet etwas "inspirieren" lassen und die Erkenntnisse unter Anwendung der im Report angegebenen Daten und Abbildungen so gut es ging auf das Modell übertragen - und zwar erstmal für die einfachere "linke Seite" der Brücke.
Gegeben sind die Länge L = 80 cm, die Höhe H = R = 62 cm sowie die Gewichtskraft FG = 69 N ("7kg").
Angenommen wurde eine homogene Massenverteilung der Brücke, sodass die Gewichtskraft FG im Schwerpunkt auf halber Länge L/2 wirkt.
Als Höhe von 62 cm wurde der obere Rand der Umlenkrollen angenommen und dies soll gleichzeitig der Abstand R zwischen dem Drehlager und dem Angriffspunkt der Seile sein.
Lagerreibungen und Eigengewicht der Seile wurden vernachlässigt.
Zu berechnen war die Zugkraft FZ in Abhängigkeit des "Brückenwinkels β" (so habe ich ihn hier mal genannt).
Zum Rechenweg ist noch folgendes zu sagen:
Auf das Drehlager D der Brücke wirken insgesamt 3 Drehmomente, deren Summe Null sein muss; gezählt wird im Uhrzeigersinn.
Die Kräfte ergeben sich aus der Gewichtskraft der Brücke FG, dem vertikalen Anteil der Zugkraft FZy sowie dem horizontalen Anteil der Zugkraft FZx.
Sie sind mit den wirksamen Hebellängen zu multiplizieren, um die Momente zu erhalten. FG wirkt hierbei nach unten und das Moment entgegen dem Uhrzeigersinn - es bekommt deshalb ein negatives Vorzeichen. Die anderen beiden Momente wirken im Uhrzeigersinn und werden positiv eingerechnet.
Sowohl die Kräfte als auch die Hebellängen sind hierbei abhängig vom "Brückenwinkel β"
Berechnung und Ergebnis habe ich zunächst "händisch" erstellt und als Skizze angefügt (vielleicht mache ich es später noch etwas schöner):
Demnach beträgt die maximal erforderliche Zugkraft in horizontaler Position der Brücke etwa 63 N und fällt bis zur senkrechten Position natürlich auf Null ab. Das Seil legt hierbei eine Strecke von ca. 0,88 m zurück.
Obwohl die ermittelte Gleichung mehrere trigonometrische Funktionen hat, ist der Kraftverlauf interessanterweise nahezu linear zum Brückenwinkel. Das hätte ich so nicht erwartet, gehe aber davon aus, dass die Erbauer der Brücke an diesem Punkt auch schon waren.
Ich weiß nicht, ob Jacques hier mitliest oder sich schonmal jemand damit beschäftigt hat, aber es wär für mich interessant zu wissen, ob es bis hierhin einigermaßen stimmt und vor allem, inwieweit diese nahezu linear verlaufende Kraft durch einen Schlitten auf einer hyperbel- oder parabelähnlichen Bahn tatsächlich kompensiert werden kann. In diesem Fall müssten sich Brücke und Schlitten bei jedem Winkel β im Gleichgewicht halten und das wage ich momentan erstmal zu bezweifeln.
Aber das zu berechnen wäre dann eine Übung für die nächste Stunde - wenn es überhaupt analytisch möglich ist.
Grüße aus dem Rheinland
Hans-Gerd
Nachtrag:
In der letzten Gleichung fehlt im Nenner zwei mal "Klammer zu" - sorry!
Georg hat kürzlich auf das Modell der "Hebebrücke am Nil in Asyut" in Schrauber und Sammler Nr. 2 hingewiesen, gebaut von Jacques L. aus Merkur-Material.
Abgesehen von der tatsächlich einzigartigen Konstruktion finde ich das Modell von Jacques in jeder Hinsicht hervorragend gelungen!
Das hat mich animiert, ein wenig über die auftretenden Kräfte nachzudenken.
Da die Technische Mechanik nicht unbedingt mein Favorit ist, habe ich mich ehrlicherweise vom Internet etwas "inspirieren" lassen und die Erkenntnisse unter Anwendung der im Report angegebenen Daten und Abbildungen so gut es ging auf das Modell übertragen - und zwar erstmal für die einfachere "linke Seite" der Brücke.
Gegeben sind die Länge L = 80 cm, die Höhe H = R = 62 cm sowie die Gewichtskraft FG = 69 N ("7kg").
Angenommen wurde eine homogene Massenverteilung der Brücke, sodass die Gewichtskraft FG im Schwerpunkt auf halber Länge L/2 wirkt.
Als Höhe von 62 cm wurde der obere Rand der Umlenkrollen angenommen und dies soll gleichzeitig der Abstand R zwischen dem Drehlager und dem Angriffspunkt der Seile sein.
Lagerreibungen und Eigengewicht der Seile wurden vernachlässigt.
Zu berechnen war die Zugkraft FZ in Abhängigkeit des "Brückenwinkels β" (so habe ich ihn hier mal genannt).
Zum Rechenweg ist noch folgendes zu sagen:
Auf das Drehlager D der Brücke wirken insgesamt 3 Drehmomente, deren Summe Null sein muss; gezählt wird im Uhrzeigersinn.
Die Kräfte ergeben sich aus der Gewichtskraft der Brücke FG, dem vertikalen Anteil der Zugkraft FZy sowie dem horizontalen Anteil der Zugkraft FZx.
Sie sind mit den wirksamen Hebellängen zu multiplizieren, um die Momente zu erhalten. FG wirkt hierbei nach unten und das Moment entgegen dem Uhrzeigersinn - es bekommt deshalb ein negatives Vorzeichen. Die anderen beiden Momente wirken im Uhrzeigersinn und werden positiv eingerechnet.
Sowohl die Kräfte als auch die Hebellängen sind hierbei abhängig vom "Brückenwinkel β"
Berechnung und Ergebnis habe ich zunächst "händisch" erstellt und als Skizze angefügt (vielleicht mache ich es später noch etwas schöner):
Demnach beträgt die maximal erforderliche Zugkraft in horizontaler Position der Brücke etwa 63 N und fällt bis zur senkrechten Position natürlich auf Null ab. Das Seil legt hierbei eine Strecke von ca. 0,88 m zurück.
Obwohl die ermittelte Gleichung mehrere trigonometrische Funktionen hat, ist der Kraftverlauf interessanterweise nahezu linear zum Brückenwinkel. Das hätte ich so nicht erwartet, gehe aber davon aus, dass die Erbauer der Brücke an diesem Punkt auch schon waren.
Ich weiß nicht, ob Jacques hier mitliest oder sich schonmal jemand damit beschäftigt hat, aber es wär für mich interessant zu wissen, ob es bis hierhin einigermaßen stimmt und vor allem, inwieweit diese nahezu linear verlaufende Kraft durch einen Schlitten auf einer hyperbel- oder parabelähnlichen Bahn tatsächlich kompensiert werden kann. In diesem Fall müssten sich Brücke und Schlitten bei jedem Winkel β im Gleichgewicht halten und das wage ich momentan erstmal zu bezweifeln.
Aber das zu berechnen wäre dann eine Übung für die nächste Stunde - wenn es überhaupt analytisch möglich ist.
Grüße aus dem Rheinland
Hans-Gerd
Nachtrag:
In der letzten Gleichung fehlt im Nenner zwei mal "Klammer zu" - sorry!